Visar inlägg med etikett matematik. Visa alla inlägg
Visar inlägg med etikett matematik. Visa alla inlägg

måndag 27 juli 2026

Roger Bacon (Doctor Mirabilis)

Roger Bacon (Doctor Mirabilis), född omkring 1219/1220 i Ilchester, Somerset, England av förmögna föräldrar lojala mot Henrik III, död 1292, var vetenskapsteoretiker och kritiserade auktoritetstro och obevisbar kunskap, men var samtidigt även alkemist. Denne utbildades i Oxford och Paris, arbetade som professor (munk) på den franciskanska skolan i Oxford, främst i ämnena matematik och astronomi. Han influerades av Robert Grossetestes teorier.

Bacon var samtida med Thomas av Aquino. Han offrade sin ärvda förmögenhet på vetenskapen och var mycket intresserad av det arabisk-judisk-kristna Sydeuropa. Han var inte imponerad av parisarnas dialektiska tankesätt utan eftersträvade en allvetenskap som skulle rena kristendomen, förändra och omvända världen.

Vetenskap

Roger Bacon var den som var föregångare till den empiriska vetenskapliga modellen och förespråkade att vetenskapliga teorier skulle beläggas genom experiment och observationer och inte genom det på den tiden som då var den allmänt rådande tankekraften eller tron.

Optik

Efter att han hade läst Abu Ali al-Hasan ibn al-Haythams Optik och tagit intryck av Robert Grosseteste gjorde Roger Bacon stora framsteg inom optiken. Han hade de teoretiska kunskaperna för att konstruera ett teleskop, men det skulle dröja ända till 1600-talet innan man hade tekniken att omvandla tekniken till verklighet. Samme man uppfann förstoringsglaset, vilket möjliggjorde att även glasögonen såg dagens ljus.

Astronomi

Roger Bacon trodde på en sfäriskt formad jord kring vilken man kunde segla. Han beräknade avståndet till stjärnorna till cirka 800 miljoner kilometer.

Krut

Krut är det äldsta kända sprängmedlet. De som man vanligen benämner är kineser, indier och araber. Den förste att publicera något om krut var Roger Bacon som år 1242 publicerade en bok i Oxford i vilken han beskrev hur man kunde göra en explosiv blandning, bland annat genom att tillsätta salpeter. För denna publicerings skull brukar Roger Bacon omnämnas som krutets uppfinnare.

Teknik

Han hade läst om Ibn Firnas i det moriska Spanien, som hade uppfunnit, konstruerat och prövat en flygmaskin år 875. Roger Bacon ritade en rad olika maskiner som var motordrivna fartyg, flygmaskiner och annan mekanik, detta skedde 300 år innan Leonardo da Vinci. Vidare kämpade han mot folkets vidskepelse och parisskolastikernas misstro mot naturvetenskapen, och han hade visioner om en framtida teknisk värld.

Religion

Roger Bacon var kritisk till korstågen (det misslyckade sjunde pågick som bäst i Egypten 1248–1254) och han ansåg att de icke troende skulle omvändas med vishet och sant vetande. Han slutsats var att Rom och kristenheten var oförmögna till detta eftersom de var fördärvade av högmod, girighet, avund, vällust och dryckenskap vilket i stort gällde alla ordnar, kloster och universitet vid den tiden.

Roger Bacon blev satt i fängelse år 1278 (cirka 66 år gammal) för sina påstått okristliga läror (falska påståenden). Han släpptes ur fängelset 1292 och dog 80 år gammal.

måndag 6 juli 2026

Demokritos från Abdera

Demokritos, Demokritos från Abdera (klassisk grekiska: Δημόκριτος), född cirka 460 f.Kr. i Abdera, död cirka 370 f.Kr., var en grekisk filosof, tillhörande den atomistiska skolan. Uppgifterna om Demokritos liv är motsägelsefulla, men han ägnade hela sitt liv åt allvarligt, metodiskt och vittomfattande vetenskapligt forskningsarbete. Hans otaliga skrifter omfattar ungefär alla grenar av den dåtida vetenskapen: matematik, astronomi, geografi, medicin, biologi, fysik, kunskapsteori, etik, filologi och konstlära.

Källor

Inte några av Demokritos egna skrifter finns bevarade. De upplysningar som finns om Demokritos läror är av två slag: dels citat från nu förlorade verk som är nedtecknade av andra författare och dels referat som dessa och andra författare har gjort av hans läror. De direkta citaten, som huvudsakligen återfinns hos Stobaeus, berör till allra största delen etik. Beträffande hans vetenskap, metafysik och fysik är vi hänvisade till referat i andra hand (förutom av Stobaeus även av Diogenes Laertios, Aristoteles och flera andra författare). Stobaeus bevarar också en lista över etiska maximer och citat från en viss "Demokrates", som på grund av innehållet och stilen förmodligen är densamme som Demokritos.

Vetenskap

Atomism

Demokritos får ofta äran för att ha grundat atomläran, trots att det är hans lärare Leukippos som är den egentliga teorins skapare. Demokritos menade att allt i universum består av antingen tomhet eller mycket små elementarpartiklar som han kallade atomer (vilket betyder "odelbar"). Dessa rör sig slumpmässigt i kosmos, kolliderar då och då och klungar ihop sig till fasta kroppar. Allt kan förklaras genom atomernas rörelser, inklusive den levande kroppen och människans själsliv.

Atomerna är enligt Demokritos kvalitativt lika varandra men olika till gestalt, storlek och därför också till tyngd. I kraft av denna sin tyngd faller de i det tomma rummet nedåt, men med olika hastighet och samlar sig därför till kroppar. Kropparnas tyngd och hårdhetsgrad beror på hur stor mängd av atomer som de består av, och på den grad av täthet med vilken de sluter sig till varandra. Smak och färg beror på det intryck som atomerna framkallar på våra sinnen genom storlek och form. Och eftersom det inte finns något annat verkligt än atomer och tomt rum måste enligt Demokritos även vår själ bestå av atomer, visserligen av finaste slag, och genom dessas rörelse framkallas tänkandet.

Genom att tillåta både tomhet, rörelse och oföränderlighet (atomernas odelbara natur) kunde Demokritos lösa de paradoxer angående rörelse och förändring som Parmenides stått för, vilka lett honom till att förneka den empiriska verklighetens giltighet och våra sinnens pålitlighet

Ett urval av Demokritos atomistiska satser följer nedan:

Av ingenting blir ingenting. Ingenting, som är, kan förintas. All förändring är endast förening och upplösning av delar.

Ingenting sker av en slump, utan allt av en grund och med nödvändighet.

Det ges ingenting utom atomerna och det tomma rummet. Allt annat är subjektiva förmodanden.

Atomerna är oändligt många och varandra till formen oändligt olika. Under en evigt fallande rörelse genom det oändliga rummet studsar de större, vilka faller hastigare, mot de små. De härigenom uppkommande sidorörelserna och virvlarna utgör början till världsbildningen. Otaliga världar bildas och förgås åter, samtidigt såväl som efter varandra.

Alla tings olikhet härrör sig från deras atomers olikhet till antal storlek, form och ordning. Det finns inte någon kvalitativ olikhet hos atomerna. Atomerna har inte några inre tillstånd; de verkar på varandra blott igenom tryck och stöt.

Själen består av fina, glatta och runda atomer, av samma slag som eldens. Dessa atomer är de rörligaste, och genom deras rörelse, vilken genomtränger hela kroppen, frambringas livets företeelser.

Matematik

Demokritos var en pionjär inom matematik, särskilt geometri. Detta känner vi bara genom citat av hans arbeten (Om tal, Om geometri, Om avbildning bland andra) i andras skrifter, då merparten av Demokritos verk inte överlevde medeltiden. Han var bland de första att konstatera att volymen hos en kon eller pyramid är en tredjedel av den hos cylindern respektive prismat med samma bas och höjd.

Astronomi

Demokritos hävdade att universum var oändligt och evigt och innehöll oändligt många atomer. Han var även den förste kände filosof som insåg att det himlafenomen som kallas Vintergatan (latin Via Lactea) består av ljus från avlägsna stjärnor. Andra filosofer, senare även Aristoteles, hade invändningar mot detta. Demokritos menade därtill att kosmos innehåller ett otal världar, av vilka vissa är bebodda.

Demokritos var under renässansen känd som "den skrattande filosofen", då det ansågs att han konstant skrattade åt människornas enfald. Hans motpol var Herakleitos, "den gråtande filosofen".

Filosofi

Etik

Demokritos står i sitt tänkande under inflytande av sin landsman Protagoras, särskilt när det gäller etiken. I sig är ingenting gott och ont, utan endast i relation till de förnimmelser som tingen väcker inom oss. Den starkares rätt är enligt Demokritos visserligen grundad i naturen, men den inskränks genom statsordningen, som hela vårt väl och ve är beroende av. Därför består den första dygden i pliktuppfyllelse gentemot samhället och dess enskilda medlemmar. Var och en som kränker denna plikt, den som mördar och rövar, ska man slå ihjäl såsom ett vilt djur. Detta gäller också för vårt förhållande till djuren. Endast sådana som "gör ont eller vill göra ont" är det tillåtet att döda. Det rätta bör vi enligt Demokritos göra inte av fruktan för underjordens fasor, som är inbillade, eller för mänskligt straff, utan för att det är det rätta och av aktning för oss själva. Medvetandet att ha fyllt vår plikt ger oss den glada sinnesro (grekiska: εὐθυμία, euthymia) som är det högsta goda som för oss är möjligt att uppnå. Lycka och olycka beror inte av yttre ting, utan i vårt bröst bor vår gode eller onde demon. En varaktig känsla av välbehag skänker endast andliga njutningar, betraktandet av sköna konstverk och framförallt den vetenskapliga forskningen, ty "bildning är i lyckan ett smycke, i olyckan en lugn tillflykt".

De flesta av de etiska citat som finns bevarade av Stobaeus är närmast att betrakta som maximer, sentenser eller visdomsord av relativt okontroversiell och praktisk natur. Vilken koppling hans etiska teorier har till atomismen är fortfarande oklart. Vissa författare (däribland Gregory Vlastos) verkar mena att Demokritos kan ha betraktat den välordnade själen som en motsvarighet till det välordnade universum (kosmos) och sett de praktiska maximerna som sätt att uppnå detta. Det finns dock för lite konkret material att tillgå för att någon enskild hittills framlagd tolkning ska bli helt accepterad.

Det bör dock understrykas att Epikuros, som såg maximerandet av människornas välmående som det högsta goda, härledde sin etiska filosofi ur atomläran.

Inflytande

Demokritos atomlära fick föga genomslag hos samtiden, som hade tröttnat på naturfilosofi. De lärjungar, som Demokritos lämnade efter sig, nedsjönk dessutom alltmer i kunskapsteoretiskt tvivel och försummade mästarens naturvetenskapliga system, till dess Epikuros efter ett århundrade drog fram det ur glömskan och tog det till grundval för sin egen lärobyggnad.

Demokritos levde själv i det avlägsna Abdera vid Thrakiens kust. Visserligen hade han företagit vidsträckta studieresor, men han försmådde att såsom landsmannen Protagoras uppträda såsom populär föreläsare. Därför förblev han okänd utanför hemorten, inte minst i Aten som var medelpunkten för dåtidens andliga liv.

Den svarta baksidan 

En atom (av grekiska: ἄτομος, átomos, "odelbar") är den minsta enheten av ett grundämne som definierar dess kemiska egenskaper. Namnet skapades i den antika atomteorin och avsåg då de minsta enheter som tillsammans med tomrum bildade universum.

Filosofiska funderingar om atomer återfinns i antikens Grekland och hos indierna på 400- och 500-talen f.Kr. Det var grekerna som gav atomen sitt namn, efter det grekiska ordet atomos, som betyder "odelbar".

De tidigaste kända idéerna om något som liknar dagens atomer utvecklades av Demokritos i Grekland runt 450 f.Kr. Idén vidarefördes av Epikuros (341–270 f. Kr.) och hans anhängare. De beskrivs bland annat i Lucretius latinska lärodikt Om tingens natur från första århundradet f. Kr. Atomteorin var sedan bortglömd fram till på 1600-talet då Pierre Gassendi återupplivade Epikuros naturfilosofi och argumenterade för att den mycket väl kunde förenas med den kristna tron.

År 1803 använde John Dalton atombegreppet för att förklara att kemiska föreningar bestod av grundämnen i fasta proportioner. Han lade fram en teori där varje grundämne består av atomer av ett särskilt slag, som sedan kunde förena sig med varandra till olika kemiska föreningar. Dalton gjorde också en första tabell över relativa atomvikter med vätets atomvikt som enhet. Eftersom man inte entydigt kunde bestämma hur många atomer av ett visst slag, som ingick i varje molekyl, var atomvikter från det tidiga 1800-talet ofta fel på en faktor 2. Det underliggande problemet var om de vanliga gaserna syre, väte och kväve bestod av isolerade atomer eller, som man vet idag, av tvåatomiga molekyler.

Det var sedan under hela 1800-talet en öppen fråga om atomer verkligen existerade, eller om de bara var ett teoretiskt hjälpmedel för att förklara kemiska lagbundenheter. Den som utvecklade en teori för bl. a. gasers egenskaper baserad på att de bestod av molekyler sammansatta av atomer var österrikaren Ludwig Boltzmann (1844–1906). När Einstein 1905 kunde visa att Boltzmanns teori också kunde användas på Brownsk rörelse, som var ett direkt observerbart fenomen, blev de sista atomskeptikerna av betydelse övertygade om deras existens. Materien kan inte delas i oändligt små delar utan att egenskaperna förändras. Fransmannen Jean Baptiste Perrin fick nobelpriset i fysik 1926 för att experimentellt ha bekräftat Einsteins teori och därmed bekräftat atomernas existens.

År 1897 upptäckte engelsmannen J.J. Thomson elektronen, vilket visade att atomer inte var odelbara utan hade en inre struktur. Thomson trodde att elektronerna var jämnt fördelade i atomen, och att de balanserades av en jämnt fördelad positiv laddning. Elektronerna var som negativt laddade russin i en positivt laddad kaka eller pudding. Thomsons atommodell hade fördelen att vara stabil under elektrostatikens lagar, men visade sig ändå vara fel, då Ernest Rutherford 1912 kunde förklara experiment där en guldfolie bombarderades med positivt laddade alfapartiklar med att atomens positiva laddning och största delen av dess massa var lokaliserad i en atomkärna med mycket liten utsträckning. Elektronerna skulle då röra sig runt kärnan som planeterna i ett solsystem. Dansken Niels Bohr kunde 1913 utveckla Rutherfords idéer vidare. Han insåg att en Rutherfords atom inte kunde existera enligt den klassiska elektricitetslärans lagar. Enligt dessa skulle elektronerna sända ut strålning, förlora energi och falla ner i atomkärnan. Bohrs lösning var att lägga till ett villkor som kan tolkas som att elektronerna inte bara var partiklar utan också hade vågegenskaper. Genom att anta att den ensamma elektronen i väteatomen hade stabila banor runt atomkärnan och kombinera resultat från Plancks teori för svartkroppstrålning och Einsteins teori för den fotoelektriska effekten, kunde han beräkna de observerade spektrallinjerna för väteatomen. Ljuset i dessa linjer uppstår när elektronen faller ner från en bana med högre energi till en med lägre energi. Bohr kunde senare kvalitativt förklara hur grundämnenas karakteristiska röntgenstrålning uppstår genom att hål som bildats i de tyngre atomernas inre elektronskal fylldes med elektroner från något av de yttre skalen.

Bohrs atommodell fungerade emellertid kvantitativt bara för system med en elektron. Redan för heliumatomen blev resultaten helt fel. Problemet var hur man på ett generellt sätt skulle kunna föra in "kvantiseringsvillkor", dvs. inkludera elektronernas vågegenskaper i en teori som utgick från den klassiska mekaniken och elektricitetsläran.

De som lyckades med detta var Bohrs medarbetare tysken Werner Heisenberg och österrikaren Erwin Schrödinger. På sommaren 1925 respektive på nyåret 1926 kom dessa två med helt olika matematiska metoder fram till vad som Schrödinger senare visade var samma sak – den "moderna" kvantmekaniken. Det är Schrödingers formulering som används mest idag. Där är det grundläggande begreppet vågfunktionen, från vilken man kan beräkna sannolikheten för att finna en partikel – t.ex. en elektron – på en viss plats.

Enligt kvantmekaniken har elektronen både partikel- och vågegenskaper. Man kan således (i varje fall i princip) bestämma dess läge, som vi kan betrakta som en partikelegenskap, vid en viss tidpunkt men kan då inte veta något om dess hastighet, som vi här kan betrakta som en vågegenskap. På samma sätt kan man bestämma elektronens hastighet, men avsäger sig då möjligheten att säga exakt var den befinner sig. Detta är en konsekvens av Heisenbergs osäkerhetsprincip, som denne formulerade 1927.

Det gav upphovet till Manhattanprojektet, vilket ledde vidare till ett av historiens mest tragiska händelser. Manhattanprojektet startades 1942 på order av USA:s dåvarande president, Franklin D. Roosevelt, efter anmodan från en grupp fysiker under ledning av Leó Szilárd och Eugene Wigner. Det huvudsakliga skälet till att Manhattanprojektet initierades var oron över att Nazitysklands kärnkraftsprogram skulle lyckas. Till projektets vetenskapliga ledare utsågs Robert Oppenheimer. Det ledde till konstruerandet av två atombomber; namnen var Fat Man som användes vid Trinitytestet den 16 juli 1946. Fat Man släpptes över Nagasaki den 9 augusti 1945 kl. 11:02, mot slutet av andra världskriget. Little Boy släpptes över Hiroshima den 6 augusti 1945 klockan 08:15. Konsekvenserna var oerhörda, för att inte säga mardrömslika!

Det var inget märkligt att Robert Oppenheimer drabbades av samvetskval, något han förtjänade! Detta är konsekvenserna av Demokritos från Abderas teori nedtecknad i den grekiska antiken. Den teori Demokritos hade var inte farlig i sig, utan blev farlig i de forskares händer där det gick från teoretiskt tänkande till praktik. Som även ligger bakom civila atomkraftsanläggningar, som kan missbrukas för framställning av atombomber.

Det är att leka med elden utan att förstå konsekvenserna av den leken! 

söndag 5 juli 2026

Pythagoras

Pythagoras (på antik grekiska: Πυθαγόρας), född 570 f.Kr. död ca 495 f.Kr. Han var en grekisk filosof och matematiker.

Pythagoras är bland annat känd för den sats som fått hans namn; som ger förhållandet mellan kateterna och hypotenusan i en rätvinklig triangel. Pythagoréerna som anhängarna till Pythagoras lära kallades, var så vitt man vet de första som konstruerade ett formellt matematiskt bevis för formelns giltighet. Satsen i fråga var känd långt före Pythagoras tid, särskilt i specialfallen med sidlängder 3,4,5 och 5, 12, 13. 

Pythagoras trodde att allt i världen var heltal, som även kan användas för ange bråktal. Insikten om att kvadratroten ur 2 är irrationell, det vill säga inte kan uttryckas exakt som ett bråk, rubbade Pythagoréerna världsbild.

Pythagoras grundade även en sektliknande religion som bland annat, enligt Aristoteles, inte tillät medlemmarna att äta bönor, eftersom bönor var kopplade till Hades. Aristoteles och Aristoxenos har beskrivit en hel del specifika levnadsregler för pythagoréerna, bland annat var de förbjudna att äta viss animalisk föda. Det verkar enligt Aristoteles (Aulus Gellius IV. 11. 11-12) vara fråga om att det var förbjudet att äta vissa delar av vissa djur, som exempelvis livmoder och hjärta. Detta överensstämmer med annan grekisk sed och rit vid denna tid. Andra hörnpelare i religionen var reinkarnation och talmystik.

Historia 

Pythagoras föddes på ön Samos. Hans mor var infödd medan fadern var en köpman från den antika staden Tyros är en arkeologisk plats i södra Libanon vid Medelhavskusten, cirka 37 kilometer norr om Acre och 32 kilometer söder om Sidon. Moderna Tyros har en befolkning på cirka 135 000 invånare (2020). Som barn följde Pythagoras med på hans resor som gick till både Syrien och Italien. 

Pythagoras influerades mycket av Thales och Anaximander som levde i Miletos, en forntida stad på fastlandet inte långt från Samos. Det var där som Pythagoras fick idén att åka till Egypten och förkovra sig inom matematik och astronomi. Där stannade han tilldess att Egypten invaderades av den persiske konungen Kambyses II. Han fördes som krigsfånge till Babylon där han senare studerade deras läror och deras gudar. Efter några år återvände han till Samos där han skapade den skola som fick namnet "halvcirkeln". Han lämnade snart Samos på grund av alltför stor uppståndelse kring honom. 

Öborna var dessutom inte mottagliga för Pythagoras idéer, så han flyttade till Kroton i Italien och grundade en ny skola som senare kom att bli fästet för pythagoréerna. Med på föreläsningarna fanns ofta hans blivande fru Theano, dotter till Milo. De lär ha fått två eller tre döttrar. Det förekommer uppgifter även om två söner. Pythagoras blev förföljd och flydde till Metapontum, en stad i Italien, där han enligt vissa uppgifter lär ha stannat och slutat sina dagar; andra gör gällande att han återvände till Kroton och levde tills han blev 75 år.

Eftermäle

Pythagoras blev en närmast mytologisk figur i den grekiska världen efter sin död. Bland annat sades det att hans lår var av guld, och att en flod hälsade på honom när han korsade den. Han brukade även klä sig på ett unikt sätt, helt i vitt och med en gyllene krans och byxor.

En legend säger att en av hans lärjungar, Hippasos, försökte hitta ett bråk som motsvarade √2. När han inte hittade något blev han överlycklig och gick till Pythagoras. Denne vägrade erkänna att √2 var ett irrationellt tal, och skall ha dömt Hippasos till döden genom dränkning.

En stor del av det vi idag vet om Pythagoras är vad den syriske författaren Iamblichos skrev i ”Om Pythagoras liv”. Han levde emellertid omkring 250–300 e.Kr, det vill säga sexhundra till sjuhundra år efteråt. Ytterligare en, men också till viss del tveksam, källa är Diogenes Laërtios som troligen också skrev under 200-talet e.Kr.

Tillägg

Pythagoras anses ha varit den första i filosofins historia att bilda en gruppering bland tänkare: pythagoréerna. Enligt pythagoréerna låg alltings urprincip i talen. Det var genom matematiska tal som den ordnade världen skilde sig från kaos. En del tal var heliga, såsom 10 på grund av satsen 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Matematiken kunde också användas till att få djupare insikt om musikens väsen. Pythagoras beskrev ett samband hos musiken genom matematiska tillämpningar. Inte nog med detta, hela kosmos var klingande. Pythagoras hävdade nämligen att himlakropparnas rörelse frambringade musik, dessa harmonier kunde höras överallt i kosmos. Varför människorna på jorden inte uppfattade detta menade han berodde på att de som fötts och därmed blivit invanda vid detta ljud inte kunde uppfylla det.
   

Roger Bacon (Doctor Mirabilis)

Roger Bacon (Doctor Mirabilis), född omkring 1219/1220 i Ilchester, Somerset, England av förmögna föräldrar lojala mot Henrik III, död 1292,...